calculo

    EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO

LA EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO

                                         Cálculo

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

La evolucion del el calculo

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor delálgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero enformalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.

El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX.

Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.

El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.

El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna

A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo XX.

A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.

Renacimiento

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stévin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.

Siglos XVII y XVIII

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacadosDescartes,[ Pascal[9] y, finalmente, Leibniz y Newton[10] con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real[11] adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo deCiencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental[12] supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.

Siglos XIX y XX

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una transformación radical.[14] La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead,Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

Actualidad

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

              ORIGEN DE LA GOMETRIA

Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos (que incluyen paralelas, perpendiculares, superficies, polígonos, etc.).
El desarollo
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada. Y siguió así.
Matemáticos relacionados
con la geometria
Euclides (325-265 a.C.):
Se le conoce como "El Padre de la Geometría".
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. 
Leonhard Euler (1707-1783):
Fue el creador (casi el único) de la trigonometría, la que usamos hoy también. 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855):
En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y compás. También dijo, que descubrió la posibilidad de la geometría no euclídea, pero nunca lo publicó.
János Bólyai (1802-1860):
En 1832 publicó un completo tratado sobre geometría no euclídea. No conoció a Nikolái Lobachevski, que tres años antes había publicado un estudio similar al de Bólyai.

Otros son: Heródoto, Tales, Pitágoras, Lobachevski, Riemann 
Creado por:
Kiss Boglárka 
Kovács Dóra 
Máthé Izabella
Novotny Gergely

El Comienzo
El segundo gran salto fue en siglo XVI. Desde este siglo aparecieron conceptos como la sistema de coordenadas. 

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en el espacio, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de 1000 años.

Por eso la geometría llegaba una ciencia importantísima, indispensable porque la necesitaban (y la necesitamos) en todas partes de nuestra vida.

Instrumentos y el uso
En nuestros días estudiamos geometría en el instituto, en las clases de matemáticas. Usamos lápices, compás, regla, transportador. Con estos instrumentos podemos dibujar triángulos, círculos, rectas, polígonos, etc. La geometría nos rodea. Está en la arquitectura, la música, la astrología..

  

PERSONAJES Y SUS APORTACIONES AL                 CÁLCULO

Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz (hacia 1670), en Alemania comparten el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial. 

Newton y Leibniz demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. 

NEWTON:
En 1664, descubrió los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibniz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.  
Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.
En 1711, publicó diversos libros relacionados al Cálculo como analysi per aequationes numero terminorum infinitas. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742.
El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia matemática (1687). 

                     GOTTFRIEND WILHEM LEIBNIZ

En 1684, publica detalles de su Cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus (Nuevos Métodos para Máximos y Mínimos y para las Tangentes). En este artículo aparece la conocida flotación d para las derivadas, las reglas de las derivadas de las potencias, productos y cocientes. Pero no habla demostraciones.
Expuso los principios del calculo infinitesimal; resolviendo el problema de la isócrona & de algunas otras aplicaciones mecánicas; utilizando ecuaciones diferenciales. La mayor aportación de este ilustre personaje fue la aportación del nombre de calculo diferencial e integral; así como la invención de símbolos matematicos para la mejor explicación del cálculo; como el signo = asi como su notación para las derivadas dx/dy & su notación para las integrales. 

*Existía gran rivalidad entre ellos por el hecho de no compartir las mismas ideas filosóficas, además que cada uno decía ser el inventor del Cálculo Diferencial y de la gravitación universal.

               PIERRE DE FERMAT

 

Las primeras aportaciones de Pierre de Fermat datan de 1629, cuando abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griegoApolonio de Perga relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas, de capital importancia para la constitución de la geometría analítica. Sirviéndose de los símbolos de François Viète, trató ampliamente la ecuación de la recta, y las de la hipérbola, la parábola y la circunferencia.

Fermat se sitúa asimismo entre los matemáticos que dieron el primer impulso al cálculo infinitesimal, y fue el primero en estudiar las cuestiones de máximo y mínimo (desde 1636) con el método que hoy llamamos de las "derivadas", aprovechando una genial intuición que se presenta por primera vez en la obra del prelado francés Nicolás de Oresme. Diseñó un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica y trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.

En el ámbito de la óptica geométrica, tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, denominado principio de Fermat, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.

Anotaciones de Fermat en el margen
de una obra de Apolonio

Otro campo en el que realizó originales aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el que sería llamado Último teorema de Fermat, que tardaría más de tres siglos en demostrarse. Puede decirse que el estudio metódico de las propiedades de los números enteros comienza realmente con Fermat, razón por la que ha sido considerado el verdadero creador de la teoría de los números, a la cual matemáticos antiguos como Pitágoras, Euclides y Diofanto habían dado apenas comienzo.

De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas. Desagraciadamente, todo lo que llegado hasta nosotros está contenido casi exclusivamente en los estrechos márgenes de un ejemplar de Diofanto y en algunos fragmentos de su correspondencia. Fermat desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito».

El Último teorema de Fermat

A pesar de tantas y tan valiosas aportaciones, el nombre del insigne matemático francés se halla con frecuencia asociado a uno de los más fascinantes enigmas de la historia de las matemáticas. Cuando preparaba la edición de las obras completas de su padre, Samuel de Fermat encontró una singular anotación en una de las páginas de la Aritmética de Diofanto.

En ella, Fermat afirmaba que la ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ no tiene solución entera positiva si el valor del exponente n es superior a 2. Dicho de otro modo: la suma de dos cuadrados puede equivaler a un tercer cuadrado, como ocurre en la igualdad 3²+4²=5², pero es imposible hallar una igualdad semejante entre números enteros positivos elevados al cubo, a la cuarta potencia, a la quinta potencia, etc.

En la misma nota, Fermat decía haber hallado una demostración maravillosa de este hecho, pero demasiado larga para ser consignada en el margen de un libro. Durante los tres siglos que siguieron a la publicación se sucedieron sin descanso los intentos de demostrar este teorema de Fermat, tan difícil de probar que en ciertos momentos pasó a llamarse hipótesis de Fermat. Los nombres de Leonhard Euler, Sophie Germain, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Gabriel Lamé, Augustin-Louis Cauchy o Ernst Eduard Kummer dan una idea del número de grandes matemáticos que no pudieron resistir la tentación de probar suerte.

En 1908, la impaciencia por encontrar solución a un misterio que cumplía ya 250 años llevó a Paul Wolfskehl (un industrial alemán que se salvó del suicidio merced al interés despertado en él por un artículo de Kummer acerca del teorema de Fermat) a dejar en su testamento un premio de cien mil marcos para quien supiera hallarle una demostración antes de cien años. Se dice que sólo durante los cuatro años siguientes a su fallecimiento se publicaron más de mil pruebas falsas.

Los esfuerzos por demostrar el teorema fructificaron en aportaciones interesantísimas para la evolución del álgebra abstracta, como las del propio Kummer y su teoría de los números ideales. El último capítulo de la historia empezó a escribirse en 1955, fecha en que Yutaka Taniyama abordó el estudio de la relación entre las formas modulares y las ecuaciones elípticas. Taniyama no supo encontrar en las matemáticas el consuelo que le proporcionaron a Wolfskehl, y se suicidó en 1957. No obstante, sobre la base de sus trabajos y los de su compañero Goro Shimura, se asentó la conjetura que, tras los trabajos de Weil, sería llamada conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

André Weil, toda una personalidad en la actual teoría de números, dio a conocer la conjetura a la comunidad matemática europea y estadounidense. En 1984, Gerhard Frey estableció la existencia de un vínculo entre dicha conjetura y el Último teorema de Fermat, de manera que la demostración de la primera debe tener como consecuencia inmediata la certeza del segundo, el cual se convierte de este modo en expresión de un hecho relativo a las propiedades fundamentales del espacio.

Nueve años después, la demostración fue finalmente completada por Andrew Wiles, matemático británico y profesor en la Universidad estadounidense de Princeton, quien, tras limar algunos aspectos, la publicó en su forma definitiva en mayo de 1995, en la revista Annals of Mathematics. En junio de 1997, en solemne ceremonia, los miembros de la Königliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga entregaron a Andrew Wiles el premio creado por Paul Wolfskehl noventa años antes. El misterio que nunca quedará resuelto es si realmente Pierre de Fermat había encontrado una demostración de su teorema, y, en caso afirmativo, si era válida, y en caso de serlo, en que podía consistir, ya que para la demostración de Wiles se emplearon conceptos matemáticos completamente desconocidos en la época de Fermat

                                LEONHARD EULER

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas. 

Notación matemática 

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último. 

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo. 

Análisis 

El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático, es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo. 

El número e 

e es el único número real para el valor a para el cual se cumple que el valor de derivada de la función f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo).

Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base e. 

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite: 

y también como la serie: 

Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos. También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula: 

Siendo un caso especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler: 

Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.

Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1,e,i y π. En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia». En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta. 

Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange. 

Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos. 

Aproximaciones de Euler 

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni: 

                    Johann bernoulli

En 1692 conoció a Varignon, con el que entabló una profunda amistad. Durante los muchos años de correspondencia que mantuvieron, Varignon adquirió de Johann Bernoulli numerosos conocimientos sobre las aplicaciones del cálculo. Johann Bernoulli también comenzó a cartearse con Leibniz, una relación que resultó ser muy fructífera. De hecho, se convirtió en la correspondencia de mayor importancia mantenida por Leibniz. Para Johann Bernoulli este fue un período de grandes logros matemáticos. Aunque se encontraba trabajando en su tesis doctoral en medicina, escribía y publicaba un gran número de artículos sobre temas matemáticos, además de conseguir importantes resultados que reflejaba en su correspondencia. Johann Bernoulli había resuelto ya el problema de la catenaria¹ planteado por su hermano en 1691. En realidad, lo resolvió el mismo año que su hermano lo planteó, siendo su primer resultado matemático importante obtenido de manera independiente y sin la ayuda de su hermano, aunque utilizó ideas que Jacob había ofrecido al proponer el problema. A estas alturas, Johann y Jacob estaban aprendiendo mucho el uno del otro en una rivalidad razonablemente amistosa que, algunos años después, se convertiría en una relación abiertamente hostil. Por ejemplo, durante 1692-93 trabajaron juntos en el estudio de las curvas cáusticas, aunque no publicaron el trabajo conjuntamente. Incluso en esta etapa la rivalidad era demasiado fuerte como para acceder a una publicación conjunta y nunca llegarían a publicar un trabajo en común a pesar de dedicarse al estudio de campos similares. Anteriormente mencionamos que la tesis doctoral de Johann, presentada en 1694, versaba sobre un campo de la medicina, pero realmente consistía en una aplicación de las matemáticas a la medicina, concretamente, al movimiento muscular. Aunque Johann no deseaba desarrollar una carrera médica, eran escasas las posibilidades de conseguir una cátedra de matemáticas en Basilea, puesto que Jacob ocupaba ya el puesto. Un torrente de ideas matemáticas continuó fluyendo de la mente de Johann Bernoulli.

En 1694 se centró en la función y = x^x y también investigó series utilizando el método de integración por partes. Bernoulli veía la integración simplemente como la operación inversa a la diferenciación, un enfoque con el que lograría grandes aciertos en la integración de ecuaciones diferenciales². Sumó series y descubrió los teoremas de suma de funciones trigonométricas e hiperbólicas utilizando las ecuaciones diferenciales que satisfacían. Esta destacada contribución a las ciencias matemáticas tuvo su recompensa cuando en 1695 le fueron ofrecidas sendas cátedras, una de ellas en Halle y otra en Groningen, esta última, por recomendación de Huygens. Finalmente, Johann aceptó el puesto en Groningen, lo que le proporcionó una gran alegría, en parte porque ahora poseía el mismo estatus que su hermano Jacob, cada vez más celoso de los progresos de Johann. Sin embargo, la culpa del progresivo deterioro de las relaciones entre ambos hermanos no era sólo de Jacob.

Es interesante destacar que Johann fue designado para la cátedra de matemáticas, aunque su carta de nombramiento menciona sus habilidades médicas y en ella le fue ofrecida la oportunidad de practicar medicina en Groningen. Johann Bernoulli se casó con Drothea Falkner y su primer hijo tenía sólo siete meses cuando la familia se trasladó a Holanda el 1 de septiembre de 1695. Se trataba de Nicolaus (II) Bernoulli, que también se convertiría en matemático. Quizás sea este un buen momento para indicar que otros dos hijos de Johann se convirtieron también en matemáticos, Daniel Bernoulli, que nació mientras la familia residía en Groningen, y Johann (II) Bernoulli. Ni la mujer de Bernoulli ni su suegro estaban muy de acuerdo con su marcha a Groningen, sobre todo teniendo en cuenta la dificultad de un viaje como ese con un bebé a cuestas. Tras ponerse en camino el 1 de septiembre, tuvieron que atravesar una región sitiada por los ejércitos, descender por el Rin en bote y tomar un carruaje y luego otro bote hasta su destino. Finalmente, el 22 de octubre llegaron a la ciudad de Groningen, donde vivirían un período de diez años lleno de dificultades: Johann se involucró en numerosas disputas religiosas, su segundo hijo, que fue una niña nacida en 1697, sólo vivió durante seis semanas, y padeció una enfermedad grave por la que fue desahuciado. Durante una disputa fue acusado de negar la resurrección de Cristo, un cargo basado en sus opiniones médicas. En una segunda disputa en 1702, Bernoulli fue acusado en un panfleto publicado por un estudiante de la Universidad de Groningen, Petrus Venhuysen, de seguir la filosofía de Descartes. El panfleto también le acusaba de oponerse a la fe Calvinista y privar a los creyentes de su consuelo en la pasión de Cristo. Bernoulli escribió una larga respuesta de doce páginas a la Dirección de la Universidad que todavía se conserva [16]:

[…]No me habría importado tanto si [Venhuysen] no hubiera sido uno de los peores estudiantes, un total ignorante al que no reconoce, respeta o cree ningún profesor, y que desde luego no está en posición de manchar el buen nombre de un hombre honesto, y mucho menos de un catedrático reconocido por el ámbito académico […] […]toda mi vida he profesado mi fe Cristiana Reformada, que todavía practico… él me habría hecho pasar por un heterodoxo, un completo hereje; lo que es más, con toda su perversidad busca hacerme pasar por una abominación a los ojos del mundo, y exponerme a la venganza de los poderes de Dios y del pueblo[…]

Esta no fue la única disputa de Johann durante su estancia en Groningen. Introdujo experimentos de física en sus enseñanzas, pero Sierksma escribe en su obra que estos experimentos:

[…]eran ofensivos para los científicos con creencias Cartesianas, así como para los Calvinistas. Los Cartesianos destacaban el papel de la ‘razón’ y mantenían la idea de que[…] el mundo de la percepción sensorial es de inferior relevancia; los Calvinistas trataban de descifrar el plan subyacente de Dios mediante un escrupuloso análisis de los fenómenos naturales. La interpretación de estos fenómenos naturales por sí solos sería incompatible con ambas creencias.

Mientras ostentó la cátedra en Groningen, Johann Bernoulli compitió con su hermano en lo que se estaba convirtiendo en una interesante pelea matemática, pero, desafortunadamente, también en una amarga batalla personal. Johann planteó el problema de la baquistrocrona en junio de 1696 y desafió a otros a resolverlo. Leibniz le convenció para que diera más tiempo, con el fin de que matemáticos de otros países también tuvieran la oportunidad de resolver el problema. Se encontraron cinco soluciones, resolviendo el problema Jacob Bernoulli y Leibniz, además del propio Johann Bernoulli. Galileo no había podido encontrar la solución a la cicloide, para la que había propuesto una solución incorrecta. Para no ser menos que su hermano, Jacob propuso el problema iisoperimétrico³, minimizando el área encerrada por una curva. La solución de Johann al problema fue menos satisfactoria que la de su hermano Jacob, pero cuando Johann retomó el problema en 1718 tras leer la obra deTaylor, obtuvo una elegante solución que pondría las bases del cálculo de variaciones⁴.

En 1705 la familia Bernoulli recibió en Groningen una carta en la que el suegro de Johann afirmaba añorar a su hija y sus nietos ante el poco tiempo de vida que le quedaba. Así pues, la familia, junto con Nicolaus (I) Bernoulli, sobrino de Johann que había estado estudiando matemáticas en Groningen junto a su tío, decidió volver a Basilea. Dejaron Groningen dos días después de la muerte de Jacob, pero, por supuesto, no supieron que había fallecido de tuberculosis hasta que ya estaban en camino. De ahí que Johann no regresara a Basilea esperando ocupar la cátedra de matemáticas de su hermano, sino pensando en ocupar la cátedra de griego. Evidentemente, la muerte de su hermano daría lugar a un cambio de planes. Sin embargo, antes de llegar a Basilea, Johann fue tentado con el ofrecimiento de una cátedra en la Universidad de Utrecht. El rector de la Universidad de Utrecht estaba tan deseoso de tener a Bernoulli, que se puso en marcha tras los Bernoulli, alcanzándolos en Frankfurt. Intentó persuadir a Johann para que fuera a Utrecht, pero Bernoulli estaba empeñado en volver a Basilea. Tras su regreso a esta ciudad, Johann trabajó duramente para asegurarse la sucesión en la cátedra de matemáticas de su hermano y rápidamente fue designado para ocuparla. Merece la pena resaltar que el suegro de Bernoulli vivió tres años más, durante los cuales disfrutó de la compañía de su hija y sus nietos de vuelta en Basilea. Hubo otras ofertas que Johann rechazó, como la de Leiden, una segunda oferta de Utrecht y una generosa oferta para que regresara a Groningen en 1717.

En 1713 Johann se involucró en la controversia Newton–Leibniz. Apoyó firmemente aLeibniz y reforzó su argumentación demostrando el poder de sus cálculos para la resolución de ciertos problemas en los que Newton había fracasado. Aunque Bernoulli era esencialmente correcto en su apoyo a los superiores métodos de cálculo de Leibniz, también apoyó la teoría del vórtex de Descartes por encima de la teoría gravitatoria de Newton, lo cual, evidentemente, era un gran error. De hecho, sus acciones retrasaron la aceptación de la física de Newton en el continente. Bernoulli también hizo importantes contribuciones a la mecánica con su trabajo sobre la energía cinética, que constituyó otro tema de discusión entre los matemáticos durante muchos años. Su obra Hidráulica es otro signo de su naturaleza celosa. La obra está fechada en 1732, pero se trata de un error, ya que no es más que un intento de Johann por superar a su propio hijo Daniel. Daniel Bernoulli completó su más importante obra Hydrodynamica en 1734, siendo publicada en 1738, casi al mismo tiempo que Johann publicaba su Hidráulica. Este no fue un incidente asilado y, al igual que antes había competido con su hermano, ahora competía con su propio hijo. De la misma manera que un estudio de los archivos históricos ha dado la razón a Johann en su reclamación como autor del libro de cálculo de l’Hôpital, así también se ha demostrado que sus reivindicaciones por haber publicado su Hidráulica antes que su hijo escribieraHydrodynamica son falsas. Johann Bernoulli alcanzó gran fama durante su vida. Fue elegido miembro de las academias de París, Berlín, Londres, San Petersburgo y Bolonia.

 Fue conocido como el ‘Arquímedes de su época’ y así se refleja en el epitafio de su tumba.Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics ArchiveGlosario:

·         

Una catenaria es una curva con forma de cadena colgante fuertemente uniforme. Su ecuación es: y = cosh(x) = 1/2 (e^x + e^-x) = 1 + x²/₂ + x⁴/₂₄ +       Una ecuación diferencial es una ecuación que implica el cálculo de la primera derivada o derivadas de grado superior de una función. Si la ecuación sólo incluye las primeras derivadas, es una ecuación de primer orden, y así sucesivamente. Si sólo incluye derivadas de orden n, se dice que la ecuación es de grado n. Las ecuaciones de grado uno son denominadas lineales. Las ecuaciones de una sola variable son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias para distinguirlas de las ecuaciones diferenciales parciales. Unaecuación diferencial parcial es una ecuación que incluye derivadas respecto a más de una variable. Muchas de las ecuaciones utilizadas para modelizar la física del mundo real son ecuaciones diferenciales parciales.

·         La isoperimetría es la comparación de las áreas de figuras con el mismo perímetro o de los volúmenes de sólidos con la misma área.

·         El cálculo de variaciones es una generalización del cálculo. Su objetivo es encontrar la línea, curva, superficie, etc. en el que una función dada posee un valor estacionario (normalmente, un máximo o un mínimo )                               JAKOB BERNOULLI

Durante el período de tiempo durante el que Jacob Bernoulli estuvo en la universidad estudió matemáticas y astronomía en contra del deseo de sus padres. Esto fue un comportamiento usual para muchos miembros de la familia Bernoulli que a pesar de ser obligados a hacer otra carrera también estudiarían matemáticas. Sin embargo Jacob Bernoulli fue el primero en hacerlo por lo que para él resultó muy diferente. Con posterioridad otros miembros de la familia se sintieron influidos por él y estudiaron matemáticas y física. Jacob Bernoulli regresó a Suiza y enseñó mecánica en la Universidad de Basileadesde 1683, dando importantes lecciones sobre la mecánica de sólidos y líquidos. Su pasión eran las matemáticas y la física teórica y en esos campos enseñaba e investigaba. Durante ese período estudió los grandes trabajos matemáticos de la época incluyendo la Geometría de Descartes y el material adicional de Van Schooten de la edición latina. Jacob Bernoulli también estudió los trabajos de Wallis y Barrow interesándose gracias a ellos en la geometría infinitesimal1. Jacob comenzó a publicar en el diario Acta Eruditorum, establecido en Leipzig en 1682. Uno de los acontecimientos más significativos en relación a los estudios matemáticos de Jacob Bernoulli sucedió cuando su hermano más pequeño, Johann Bernoulli, comenzó a trabajar en tópicos matemáticos. Johann estudió medicina aconsejado por su padre pero mientras estudiaba pidió a su hermano Jacob que le enseñara matemáticas. Jacob Bernoulli fue nombrado profesor de matemáticas en Basilea en 1687 y los dos hermanos comenzaron a estudiar cálculo como lo presentaba Leibniz en su escrito de 1684 sobre el cálculo diferencial Nova Methodus pro maximis et Minimis, itemque Tangentibus... publicado en el Acta Eruditorum. Estudiaron también las publicaciones de Von Tschirnhaus. Hay que aclarar que las publicaciones de Leibniz sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de la época y los Bernoulli fueron los primeros en intentar comprender y aplicar las teorías de Leibniz.

Aportes

Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron unos documentos sobre los paralelismos entre la lógica y el álgebra publicados en1685, un trabajo sobre probabilidad en 1685 y otro sobre geometría en 1687. Sus resultados en geometría proporcionaron un sistema para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares. Ya en 1689 había publicado importantes trabajos sobre las series infinitesimales y su ley sobre los grandes números en teoría de probabilidades. En mayo de 1960, publicado en un documento de Acta Eruditorum, demostró que el problema de determinar el isocrono es equivalente a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden. Tras encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que hoy llamamos separación de variables. El documento de Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, porque el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli' Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar la evoluta de una curva como envoltorio de sus círculos de curvatura. También examinó las curvas caústicas y en particular estudió estas curvas asociadas a la parábola, la espiral logarítmica y las epicicloides alrededor de 1694. El lemniscato de Bernoulli fue concebido por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695 investigó el problema del puente colgante que busca el ángulo necesario para que la curvatura del cable mantenga siempre el equilibrio del puente colgante. El trabajo más original de Jacob Bernoulli fue Ars Conjectandi publicado en Basilea en 1713, ocho años antes de su muerte,. El trabajo se hallaba incompleto en el momento de su muerte pero aun así es un documento de la mayor importancia dentro de la teoría de probabilidades. Bernoulli fue uno de los promotores más significativos de los métodos formales del análisis profundo. La astucia y la elegancia se encuentran muy a menudo en su método de presentación y expresión, pero con un máximo de integridad

                          .JEAN D’ ALEMBERTSu obra maestra fue el tratado de dinámica, donde enunció el teorema que lleva su nombre (principio de d'Alembert). El Teorem Fundamental del Álgebra recibe en algunos países de Europa el nombre de teorema de d'Alembert - Gauss dado que d'Alembert fue el primero en dar una prueba casi completa sobre dicho teorema

                         AUGUSTIN CAUCHY

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas.

Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

Publicó con regularidad durante los 45 años de su vida científica sobre aritmética, física, álgebra, análisis, estadística, geometría, mecánica, etc. Autor de Analyse Algébrique, (1822) entre otros 789 escritos. Cuando estalló la Revolución de 1830, abandonó París y después de un corto tiempo en Suiza aceptó una oferta del Rey de Piedmont para realizar una cátedra en Turín donde estuvo hasta 1832.

   

            RIEMANN

La Disertación inaugural de Riemann (1854) constituye un clásico en las matemáticas. En esta obra recuperó la cuestión de las geometrías no euclidianas al demostrar por medios analíticos que el problema de la geometría basada enpostulados de Euclides (véase Geometría) estaba vinculado a la curvatura del espacio en el que uno se sitúa. Sobre una esfera, por ejemplo, el camino más corto desde un punto a otro es un arco de círculo máximo. Por consiguiente, un círculo máximo es el equivalente de una recta para una superficie así, y sabemos que dos círculos máximos cualesquiera tienen siempre dos puntos en común; por tanto, desde un punto tomado fuera de alguno de ellos no se puede trazar un círculo máximo que le sea paralelo, con lo que el postulado del paralelismo no es válido. Esto, sin embargo, no ocurre cuando el espacio no tiene curvatura y hablamos de rectas. Beltrami (1835-1900) establecería una relación entre los trabajos de Riemann, Lobachevski y Bolyai.

En el cálculo integral, se le debe a Riemann el concepto de integral definida a partir de un punto intermedio o integral de Riemann (para más información véase Integral de una función).

En teoría de números estudió los números primos, lo que le llevó a definir la que hoy se denomina "función zeta de Riemann":

f(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ........, s = u + iv

Riemann conjeturó que f(s) = 0 si y sólo si u = 1/2 para 0 < u < 1. Nadie ha conseguido demostrar esta hipótesis, convertida en uno de los problemas más estudiados en la teoría de números y el análisis.

ALUMNOS:

MARIA ANDREA MANCILLA LEAL

MARTIN MARIN EUFRACIO

LIZETH JAXIVI GUERRERO REFUGIO

YADARI AGUILAR GUZMAN